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複数的极式(The Polar Form of Comple

2020-08-03
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摘要:定义複数的极式及其相关名词,导出複数相乘或相除的极式关係,并连结平面向量的内积与二阶行列式

就好像坐标平面上的点有直角坐标 \(P(a,b)\)  和极坐标 \(P[r, {\theta}]\)  两种表达方式,複数也有标準式和极式两种表达方式。

令 \(z = a + bi\) 是一个非零複数,且 \(|z| = r\)。则 \(r > 0\),而若 \({\theta}\) 满足

\(\displaystyle\cos\theta=\frac{a}{r}\),\(\displaystyle\sin\theta=\frac{b}{r}\)

则 \(z\) 之极式(polar form)为 \(r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})\),也记作 \(z=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})\)。

其中 \(r\) 是 \(z\) 的向径(modulus),\({\theta}\) 称为 \(z\) 的幅角(argument),记作 \(arg~z\);在 \([0,2{\pi})\) 範围内的幅角,称为 \(z\) 的主幅角(principal argument),记作 \(Arg~z\)。若 \(z = 0\) 而它的极式也写成 \(0\)。

由以上的定义可知,如果 \(z = a+bi= r(\cos{\theta} + i \sin{\theta})\),其中\(z\neq 0\),则点 \(P(a,b)\) 的极坐标就是 \(P[r,{\theta}]\)。也就是说,\(\overline{OP}= r\)  而射线 \(OP\) 与 \(x\) 轴正向的夹角是 \({\theta}\) 的同界角,其中 \(O\) 是坐标平面的原点。

即使实数也有极式。正数的主幅角是 \(0\),负数的主幅角是 \({\pi}\)。例如

\(-2=2(\cos\pi+i\sin\pi)\)

依惯例,複数之幅角应以弧度测量。但是,并非不允许使用角度写出一个複数,例如说 \(z=\cos 50^\circ+i\sin 50^\circ\) 并无不可,但是此时 \(arg~z =\frac{5}{18}\pi\)。

我国的高中课程向来规定主幅角的範围是 \([0,2{\pi})\)。事实上,有很多数学文献选择以 \((-{\pi},{\pi}]\) 当作主幅角的範围。这两种定义的主要差别,是后者在处理共轭複数时比较方便。我们解释如下。

若 \(z=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})\),则 \(z\) 的共轭複数是

\(\overline{z}=\overline{r(\cos\theta+i\sin\theta)}=r(\cos\theta-i\sin\theta)\)

可见 \(|z|=|\overline{z}|\),共轭複数的向径相等;而负角关係则表明 \(\overline{z} = r(\cos (-{\theta}) +i\sin(-{\theta}))\),可见 \(arg~\overline{z}=-arg~z\),也就是说 \(z\) 和 \(\overline{z}\) 在複数平面上对称于实轴。

如果规定主幅角在 \((-{\pi},{\pi}]\),我们就可以说共轭複数的主幅角互为负角。但是,规定主幅角在 \([0,2{\pi})\) 之后,就要说 \(Arg~\overline{z}=2{\pi}-Arg~z\),其中 \(z\) 不为正实数。

根据複数乘法的规则,

\((\cos\alpha+i\sin\alpha)(\cos\beta+i\sin\beta)\\=(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)+i(\cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta)\)

上式的实部和虚部分别是余弦和正弦的和角公式,所以上式等于

\(\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)\)

因此,我们得到了複数乘法的幅角性质

\((\cos\alpha+i\sin\alpha)(\cos\beta+i\sin\beta)=\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)\)

一般而言,令 \(z = a+bi=|z| (\cos{\alpha} + i\sin{\alpha})\),\(w = c+di=|w| (\cos{\beta} + i \sin{\beta})\),则

\(zw=|z||w|\left(\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)\right)\)

因为 \(|\cos({\alpha}+{\beta})+i\sin({\alpha}+{\beta})|=1\),我们知道

\(|zw|=|z||w|\),而且 \(arg(zw)=arg~z+arg~w\)

因为负数的主幅角是 \({\pi}\),两个负数相乘的幅角是 \({\pi}+{\pi}=2{\pi}\),所以结果是一个正数。这个简单的特例为「负负得正」提供了一个有趣的诠释。

至于複数的除法,令 \(z=|z|(\cos{\alpha}+i\sin{\alpha})\),\(w=|w|(\cos{\beta}+i\sin{\beta})\) 且 \(w{\neq}0\),

因为 \(\displaystyle\frac{z}{w}=\frac{z\overline{w}}{|w|^2}\),而 \(z\overline{w}\) 的向径是 \(|z||\overline{w}| = |z||w|\),主幅角是 \({\alpha}+({-\beta})\),所以

\(\displaystyle\frac{z}{w}=\frac{|z||w|\left(\cos(\alpha-\beta)+i\sin(\alpha-\beta)\right)}{|w|^2}=\frac{|z|}{|w|}\left(\cos(\alpha-\beta)+i\sin(\alpha-\beta)\right)\)

一个特例是,若 \(z\neq 0\),则 \(arg~\frac{1}{z} = -arg~z\)。

最后,让我们看看複数乘、除法和平面向量的内积、二阶行列式有何关係?令 \(z=a+bi\)、\(w=c+di\) 是非 \(0\) 複数,而 \(\overrightarrow{OP}\)、\(\overrightarrow{OQ}\) 分别是点 \(P(a,b)\) 和点 \(Q(c,d)\) 的位置向量。

令 \(arg~z = {\alpha}\)、\(arg~w = {\beta}\)、\({\theta} = {\alpha}-{\beta}\),则因为 \(arg(\frac{z}{w})={\alpha}-{\beta}\),所以 \(arg~\frac{z}{w}\) 就是 \(\overrightarrow{OP}\) 和 \(\overrightarrow{OQ}\) 的有向夹角 \({\theta}\)。

因为一方面 \(\displaystyle\frac{z}{w}=\frac{|z|}{|w|}(\cos\theta+i\sin\theta)\)

另一方面 \(\displaystyle\frac{z}{w}=\frac{(a+bi)(c-di)}{|w|^2}=\frac{ac+bd}{|w|^2}+\frac{bc-ad}{|w|^2}i\)

上面两式相等,所以它们的实部相等:

\(\displaystyle\frac{|z|}{|w|}\cos\theta=\frac{ac+bd}{|w|^2}\Rightarrow ac+bd=|z||w|\cos\theta\)

其实这就是平面向量的内积定义和公式:

\(\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}=ac+bd=\left|\overrightarrow{OP}\right|\left|\overrightarrow{OQ}\right|\cos\theta\)

而且虚部也相等:

\(\displaystyle\frac{|z|}{|w|}\sin\theta=\frac{bc-ad}{|w|^2}\Rightarrow bc-ad=|z||w|\sin\theta\)

在等号两侧皆取绝对值之后,就是二阶行列式与平行四边形面积的关係:

\(\left|\begin{vmatrix}a&c\\ b&d\end{vmatrix}\right|=\left|\overrightarrow{OP}\right|\left|\overrightarrow{OQ}\right|\left|\sin\theta\right|=\) 由 \(\overrightarrow{OP}\) 和 \(\overrightarrow{OQ}\) 决定的平行四边形面积。

複数的几何意涵包含了平面向量的所有性质,而这也就是进一步发展空间向量的动机与基础。

向前连结:複数平面、极坐标、平面向量、和角公式
向后连结:代数基本定理、棣美弗公式、空间向量发展史

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